On peut aussi crop plus facilement et plus proprement une photo issue d'un FF que d'un APS-C (sans y aller comme un bourrin non plus). Ca permet de compenser un peu la "perte" du facteur de crop.
Mais franchement si c'est pour photographier du badminton ou du hand en salle, on n'est pas bien loin de l'action. Donc je pense pas que le manque d'allonge par le fait de passer au FF soit réellement un handicap. Pour ce qui est de l'équitation, les bêtes sont quand même assez grosses pour ne pas avoir à zoomer/crop comme un bourrin.
Sinon il reste toujours la solution du TC x1.4/x2.0. Sur un 5D3 ça passe plutôt bien avec les objectifs de la série L.

D'après ton budget Azure, peut-être faudrait-il te diriger sur un boitier moins cher (7D2 pour l'APS-C ou pourquoi pas 6D en FF ?), et revendre ton 70-200 non IS pour le 70-200 2.8 IS II. La stab est un indéniable +. Les deux boitiers cités juste avant se trouvent d'occasion pour 1000 euros ou moins même.